Bài tập ánh xạ tuyến tính có lời giải
Trong chương trình toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích, để hiểu rõ hơn về ánh xạ tuyến tính , bài viết này xedapdientot.com sẽ chia sẻ một số kiến thức cơ bản cùng với các dạng bài tập về ánh xạ tuyến tính thường gặp trong quá trình học. Chúc các bạn học tập tốt!
Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
V→W từ không gian vecto V đến không gian vecto W gọi là ánh xạ tuyến tính nếu thoả mãn 2 tính chất sau:
+ f(x,y)=f(x)+f(y)
+f(kx)=kf(x)
∀ x, y∈V, ∀ k∈ R
Ví dụ: Cho R2→R3, Xét xem ánh xạ f có phải là ánh xạ tuyến tính hay không
f(x,y)=(x+y, 0, 2x+2y)
Giải
Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=(x1;y1) và y=(x2,y2)
– f(x+y)=(x1 + x2, y1 + y2)
=(x1 + x2 + y1 + y2,0, 2x1 + 2x2 + 2y1 + 2y2)
= (x1+y1, 0, 2x1 + 2y1 )+(x2,+y2 , 0, 2x2 +y2 )
= f(x)+f(y)
-f (kx) = f (kx 1 , ky 1 )
= (kx 1 + ky 1 , 0, 2kx 1 + 2ky 1 )
= k (x 1 + y 1, 0, 2x 1 + 2y 1 )
= kf (x)
Vậy ánh xạ đã cho là ánh xạ tuyến tính
2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
V là không gian vecto với cơ sở S
W là không gian vecto với cơ sở T
Ma trận của f theo cơ sở S -> T là ma trận gồm các cột là các toạ độ f(s) theo cơ sở T
Cách tìm ma trận của ánh xạ tuyến tínhTìm ảnh f(s)Tìm toạ độVí dụ: Viết ma trận chính tắc của ánh xạ f: R3→R4
f (a, b, c) = (a + b + c, b, bc, a + c)
Giải
Có thể viết lại thành dạng cột:
Ví dụ: Tìm ma trận của f theo cơ sở S-T : R3→R2
f (a, b, c) = (b + c, 2a-c)
S = {u 1 (1,0,1), u 2 (4,3,3), u 3 (1,2,1)}
T = {(2,2), (1,7)}
Giải
Tìm ảnh f(s):
f (u 1 ) = f (1,0,1) = (1,1)
f (u 2 ) = f (4,3,3) = (6,5)
f (u 3 ) = (1,2,1) = (3,1)
Tìm toạ độ
Vậy ma trận S – T là:
Bài tập ánh xạ tuyến tính
1.Ánh xạ f: R2 → R2 có phải là tuyến tính không?
f (x, y) = (x, y + 1)
Giải
Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=(x1;y1) và y=(x2,y2)
– f (x + y) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 )
= (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 + 1)
= (x 1 , y 1 +1) + (x 2 , y 2 )
≠ f (x) + f (y)
Vậy ánh xạ đã cho không phải là ánh xạ tuyến tính
2.Ánh xạ f: R2 → R2 có phải là tuyến tính không?
f (x, y) = (y, y)
Giải
Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=(x1;y1) và y=(x2,y2)
– f (x + y) = (y 1 + y 2 , y 1 + y 2 )
= (y 1 + y 2 , y 1 + y 2 )
= (y 1 + y 1 ) + (y 2 , y 2 )
= f (x) + f (y)
-f (kx) = f (kx 1 , ky 1 )
= (ky 1 , ky 1 )
= k (y 1, y 1 )
= kf (x)
Vậy ánh xạ đã cho là ánh xạ tuyến tính
3.Viết ma trận chính tắc của ánh xạ f: R3→R3
f (a, b, c) = (a + 2b + c, a + 5b, c)
Giải
Xem lại ví dụ ở ma trận của ánh xạ tuyến tính ta được ma trận chính tắc là:
4.Viết ma trận chính tắc của ánh xạ f sau:
+ f (a, b) = (b, -a, a + 3b, a – b)
+ f (a, b, c, d) = (d, a, c, b, bc)
5.Tìm ma trận của f theo cơ sở S-T : R2→R3
f (a, b) = (a + 2b, -a, 0)
S = {u 1 (1, 3), u 2 (-2, 4)}
T = {(1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0)}
Giải
Tìm ảnh f(s):
f (u 1 ) = f (1,3) = (7, -1 ,0)
f (u 2 ) = f (-2, 4) = (6, 2, 0)
Tìm toạ độ
Vậy ma trận S – T là:
6.Xét ánh xạ f: R2 -> R3
7.Cho ánh xạ f: P3(x) -> P2(x), p(x) -> p"(x)
:
Đại số và hình giải tích Bài 1: Số phức – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 2: Ma trận – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 3: Định thức ma trận – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 4: Ma trận nghịch đảo – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 5: Hạng của ma trận – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 6: Hệ phương trình tuyến tính- bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 7: Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 8: Cơ sở không gian vecto – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 9: Không gian vector con – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 10: Ánh xạ tuyến tính – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 11: Giá trị riêng, vector riêng – bài tập và lời giải
